Zaloguj
Przetworniki delta-sigma
W technice audio stosuje się powszechnie scalone przetworniki analogowo-cyfrowe z modulatorem delta-sigma (ΔΣ) i cyfrowym filtrem dolnoprzepustowym. Modulator delta-sigma konwertuje sygnał analogowy, podawany na jego wejście, na strumień bitów. Schemat blokowy układu został pokazany na rysunku 15.
Działanie pętli modulatora rozpoczyna się od podania na wejście integratora różnicy napięć pomiędzy sygnałem wejściowym a wyjściem jednobitowego przetwornika cyfrowo-analogowego (DAC). Wyjście integratora steruje wejściem komparatora. Na podstawie wartości napięcia na wejściu komparator ustala stan wyjściowy modulatora ΔΣ i jednocześnie stan wejściowy 1-bitowego przetwornika DAC. Jeżeli na wyjściu modulatora panuje stan wysoki, to na wyjściu przetwornika DAC pojawia się ujemne napięcie odniesienia przetwornika ADC i – w konsekwencji – jest ono odejmowane od napięcia wejściowego. Jeżeli na wyjściu modulatora panuje stan niski, to na wyjściu DAC pojawia się dodatnie napięcie odniesienia i jest ono dodawane do sygnału wejściowego. W trakcie pracy każdy kolejny impuls zegara generuje pełny, kolejny cykl modulatora. Powstaje strumień bitów wyjściowych, będący reprezentacją sygnału wejściowego (proporcjonalną do napięcia odniesienia). Rysunek 16 prezentuje sinusoidę wejściową i powstały strumień bitów wyjściowych modulatora przy założeniu, że napięcie odniesienia ma wartość 1 V.
Modulator z rysunku 15 to tzw. modulator jednobitowy. W praktyce stosuje się modulatory kilkubitowe, działające na analogicznej zasadzie, ale oferujące lepsze parametry techniczne. Modulatory takie próbkują sygnał z bardzo wysoką częstotliwością (rzędu dziesiątek megaherców). Taki nadpróbkowany strumień danych jest potem podawany na wejście dolnoprzepustowego filtru decymatora, który to filtr odgrywa dwie podstawowe role. Pierwsza z nich to decymacja nadmiarowych próbek i przekształcenie sygnału wejściowego do formatu odpowiadającego wielobitowym przetwornikom, druga zaś to funkcja filtru antyaliasingowego, związana z kształtowaniem szumu kwantyzacji.
Szum kwantyzacji
Do tej pory poruszaliśmy problemy związane z częstotliwością próbkowania. Proces próbkowania – oprócz przekształcania ciągłego sygnału analogowego w dyskretną reprezentację przebiegu – wykonuje też pomiar wartości napięcia w momencie pobierania próbki. W trakcie próbkowania zapisujemy wartości amplitud ze skończoną dokładnością, określoną przez rozdzielczość przetwornika. Oznacza to, że amplitudy w momentach próbkowania są z dużym prawdopodobieństwem zapisywane z pewnym błędem. Na rysunku 17 pokazano charakterystykę 3-bitowego przetwornika ADC. Oś pozioma reprezentuje analogowe napięcie wejściowe, podzielone na 8 równych przedziałów (1/8, 1/3, 3/8 itd.). W połowie tych przedziałów następuje przejście z jednej wartości cyfrowej do kolejnej.
Pierwsza zmiana następuje wtedy, gdy napięcie wyjściowe wzrośnie od zera do połowy pierwszego przedziału, czyli do 1/16 pełnego zakresu. Wszystkie napięcia od wartości 1/16 do 3/16 pełnego zakresu wejściowego będą reprezentowane przez tę samą wartość wyjściową (001). Jeżeli pełny zakres napięć wejściowych ma wartość 2 V, to dla wszystkich napięć z przedziału od 0,125 V do 0,375 V otrzymamy wartość na wyjściu przetwornika równą 001. To jest właśnie geneza błędu kwantyzacji, powodującego powstanie tzw. szumu kwantyzacji.
Jak się łatwo domyślić, błąd kwantyzacji będzie malał wraz ze zwiększaniem rozdzielczości przetwornika. Im więcej bitów ma słowo, w którym zapisujemy zmierzoną wartość, tym pomiar jest dokładniejszy.
Za pomocą poniższego równania można wyliczyć parametr SNR (wyrażony w decybelach) idealnego, N-bitowego przetwornika próbkującego sygnał sinusoidalny:
SNR=1,76+6,02 N
W przypadku naszego przykładowego, 3-bitowego przetwornika SNR będzie miał wartość 18,8 dB. Taki układ, bez dodatkowych zabiegów, jest zupełnie bezużyteczny: dla przykładu, przy typowej rozdzielczości standardu CD równej 16 bitów SNR wynosi 98 dB i to już jest dobry wynik.
Wróćmy teraz do naszego przetwornika z modulatorem ΔΣ. Jest to przetwornik 1-bitowy i za pomocą przytoczonego wcześniej wzoru możemy wyliczyć SNR na poziomie niecałych 8 dB. To jeszcze gorzej niż w przykładzie z przetwornikiem 3-bitowym. Takie rozwiązanie wydaje się całkowicie bezużyteczne. Z drugiej strony stosowane dzisiaj współczesne przetworniki audio są praktycznie wyłącznie oparte na modulatorach ΔΣ i mają bardzo dobre parametry.
Musi być jakiś sposób, by szum kwantyzacji wyeliminować lub – mówiąc bardziej precyzyjnie – ograniczyć go do minimum. Wiemy, że modulator ΔΣ próbkuje sygnał audio z częstotliwościami dziesiątek megaherców. Zatem dyskretne próbki reprezentują bardzo szerokie pasmo przenoszenia. Zdecydowana większość tego pasma leży poza widmem sygnału użytecznego (fmax=20 kHz). Dobrą wiadomością jest to, że gęstość widmowa szumu kwantyzacji okazuje się rozciągnięta na całe pasmo przenoszenia, wynikające z częstotliwości próbkowania (do częstotliwości fs/2). Jeszcze lepszą wiadomością jest fakt, że gęstość widmową szumu kwantyzacji można tak kształtować, że wyraźnie rośnie wraz ze wzrostem częstotliwości granicznej pasma.
Popatrzmy na rysunek 18. Na wykresie pokazano rozkład gęstości widmowej szumu kwantyzacji w funkcji częstotliwości dla modulatora delta sigma z kształtowaniem szumów.
Pasmo sygnału rozciąga się od 0 Hz do fs/2, gdzie fs jest na poziomie megaherców. Szum kwantyzacji okazuje się niski dla małych częstotliwości i wyraźnie rośnie w kierunku częstotliwości większych. Ponieważ nas interesuje tylko pasmo do fmax=20 kHz, można je ograniczyć za pomocą cyfrowego filtru dolnoprzepustowego.
Po odfiltrowaniu pasma do 20 kHz pozbywamy się prawie całego szumu kwantyzacji. To właśnie powód, dla którego w przetwornikach z modulatorem ΔΣ filtr dolnoprzepustowy z decymatorem jest nieodzownym elementem. Modulator z rysunku 15 bywa nazywany modulatorem pierwszego rzędu. W praktyce częściej są wykorzystywane modulatory wyższego rzędu – przykładowo na rysunku 19 pokazano modulator ΔΣ drugiego rzędu.
Im wyższy rząd modulatora, tym niższy jest poziom szumu w paśmie akustycznym, a wyższy poza pasmem – rysunek 20.
W wielobitowych przetwornikach ADC szum kwantyzacji również występuje, ale jeżeli przetwornik ma odpowiednią liczbę bitów, to SNR utrzymuje się na niskim poziomie. Rozkład gęstości widmowej takiego przetwornika jest liniowy. Oczywiście można – podobnie jak w przypadku modulatorów ΔΣ – nadpróbkować sygnał wejściowy, a następnie, stosując filtrację dolnoprzepustową, ograniczyć szum kwantyzacji.
W przetwornikach ADC stosuje się różne typy cyfrowych filtrów dolnoprzepustowych, w tym popularny filtr sinc. Nazwa pochodzi od odpowiedzi częstotliwościowej, która odpowiada funkcji sin(x)/x. Pojedynczy filtr tego typu ma niezbyt dobrą charakterystykę w paśmie zaporowym, ale może okazać się bardzo przydatny na przykład do odfiltrowania zakłóceń 50 Hz w pomiarach napięć wolnozmiennych. Jego zaletą jest duża szybkość działania. Na rysunku 22 pokazano przykładową charakterystykę filtra sinc wyższego rzędu.
W przetwornikach ADC klasy audio stosuje się bardziej zaawansowane filtry dolnoprzepustowe o liniowej charakterystyce fazowej. Na rysunku 23 pokazano charakterystykę częstotliwościową filtru przetwornika PCM1809 marki Texas Instruments w zakresie częstotliwości próbkowania fs 44,1 kHz oraz 48 kHz. Filtr dolnoprzepustowy ma bardzo stromą charakterystykę i przenosi sygnały od 0 Hz do 0,6·fs. Przy fs=44,1 kHz pasmo przenoszenia wynosi ok 26,5 kHz.
Za dolnoprzepustowym filtrem decymatora jest umieszczony górnoprzepustowy filtr HPF. Jego zadaniem jest eliminacja składowej stałej i zakłóceń o bardzo niskich częstotliwościach – częstotliwość odcięcia tego bloku (wyznaczona dla punktu spadku wzmocnienia o –3 dB) wynosi 0,00025·fs, czyli przy fs równej 44,1 kHz będzie to około 11 Hz. Charakterystyka takiego filtru została pokazana na rysunku 24.
PCM1809 to dobrej klasy przetwornik z modulatorem ΔΣ. Jego SNR wynosi 104 dB, a THD+N ma wartość 95 dB. Gdybyśmy teoretycznie założyli, że szum degradujący współczynnik SNR pochodzi tylko z kwantyzacji, to z podanego wcześniej wzoru możemy wyliczyć rozdzielczość próbkowania równą około 17 bitów. Producent przetwornika PCM1809 chwali się maksymalną częstotliwością próbkowania układu dochodzącą do 192 kHz i długością słowa wyjściowego równą 32 bitów. Współczynnik SNR natomiast jest degradowany przez zakłócenia i błędy, wynikające z czynników innych niż sam tylko szum kwantyzacji.
Tomasz Jabłoński, EP
